Notions de proportions

Euclide : " Le rapport est la relation qualitative en ce qui concerne la dimension entre deux grandeurs homogènes. La proportion est l'équivalence des rapports ".

   Le rapport est le quotient de deux grandeurs exprimées selon une même grandeur de référence, l'unité ou le module en architecture qui peut correspondre par exemple au diamètre ou demi-diamètre d'une colonne : 1/2, 3/4, a/b

   La proportion ne désigne pas, comme dans le langage courant, un simple rapport comme la longueur d'une salle comparée à sa largeur, mais bien l'égalité de rapports. Dans la proportion a/b = c/d, a et d sont les termes extrêmes, b et c , les moyens. La proportion est dite continue si b=c. Ce qui donne une relation entre trois grandeurs, deux extrêmes et une moyenne : a/b = b/c. Les Anciens désignaient comme médiété, indifféremment, soit le terme moyen soit la moyenne elle-même. Il distinguèrent principalement trois types de proportions : la géométrique, l'arithmétique, l'harmonique (1 ). Selon Matila C. Ghyka, elles auraient été transmises à Platon par les Pythagoriciens de Syracuse, lors de son premier voyage en Sicile. Ces proportions, combinaison de deux ou plusieurs relations, n'impliquent pas nécessairement l'égalité de fractions, elles peuvent aussi bien s'exprimer par l'égalité de différences ou d'autres formes de comparaison.

   Ainsi dans la moyenne géométrique le plus grand terme (c) est au moyen (b) ce que le moyen est au plus petit (a) ; elle peut s'exprimer sous les formes suivantes : c-b/b-a = c/b ou a/b = b/c ou b² = ac ou b = V¯ac. Les Grecs écrivaient une proportion généralement sous la forme d'une série (ou progression) : 1, 2, 4 ou 3, 9, 27 pour désigner une progression géométrique de raison 2 (carrée) ou 3 (cubique) (2).

   Dans la moyenne arithmétique, le moyen terme dépasse le premier d'une quantité égale à celle dont il est lui-même dépassé, soit c-b = b-a ou b = (a+c)/2 comme la progression arithmétique 1, 2, 3 (de raison 1) ou 5, 7, 9 (de raison 2).

   La moyenne harmonique (b) entre deux extrêmes (a et c) dépasse le plus petit terme (a) et est surpassée par le plus grand (c) " de la même fraction de chacun d'eux " (Platon) soit (b-a)/a = (c-b)/c

   La progression arithmétique des quatre premiers nombres, la tetractys, 1, 2, 3, 4 attira particulièrement l'attention des Pythagoriciens. Leur somme, 10, est un nombre symbolique de l'univers signalé par Vitruve lui-même. Leurs rapports, comme nous le verrons plus loin correspondent aux longueurs de cordes qui produisent les principaux accords musicaux : l'octave , la quinte et la quarte. Cette progression est présente dans la progression complexe dont use Platon pour décrire la composition de l'âme du monde dans le Timée.

 


(1) " le nombre d'or ", Matila C. Ghyka, Gallimard, 1931.P.32
(2) Piero Della Francesca dans son traité de perspective (De prospectiva pingendi, traduit et annoté par Jean-Pierre Le Goff, édition In Media Res, Paris 1998) compare des produits :"...elles sont proportionnelles entre elles, par le fait que le rapport du produit de AE par AL à celui de EI par EF est comme le rapport du produit de LI par LN à celui de IP par IQ". Il parle de proportion double comme l'est 2-4-8 (de raison 2), sesquialtère comme 4-6-9 (de raison 3/2), sesquitierce comme 9-12-16 (de raison 4/3), particulièrement remarquables parmi les " innombrables " proportions [ I, 11 ]

 

 Michel Gardes


Académie de Poitiers
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Dernière mise à jour : 30/06/01