Annales de mathématiques

National 2000 Série ES
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sommaire

Exercice n°1

Le tableau suivant publié en août 1999 dans une revue économique, donne la part du temps partiel au sein de la population active (les valeurs pour 2000 et 2004 sont le résultat d'une estimation).

Année xi

1980

1985

1990

1995

1997

2000

2004

Part du temps partiel en % : yi

8,3

11

12

15,6

16,8

18

20

On étudie la série statistique (xi, yi) pour

Les calculs seront effectués à la calculatrice.

  1. Représenter dans un repère orthogonal le nuage de points de coordonnées (xi, yi) pour
    On prendra 1 cm pour une part de 2 % en ordonnée, 2 cm pour 5 ans en abscisse en prenant pour origine le point (1980; 0).
  2. Déterminer les coordonnées de G, point moyen de la série statistique (xi, yi).
    Le placer sur le graphique.
  3. a. Donner la valeur arrondie à 10-3 près du coefficient de corrélation linéaire de la série (xi, yi).Un ajustement affine est-il justifié?
    b. Déterminer une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés (a et b arrondis à 10-3 près).
    Dessiner cette droite sur le graphique.
    c. Peut-on considérer que les estimations pour 2000 et 2004 faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation obtenue à la question 3.b. ?



EXERCICE 2 (obligatoire)

En 1998 un constructeur automobile français a vendu dans la catégorie "petites voitures" 283049 véhicules répartis de la façon suivante : 86214 du modèle A, 166 937 du modèle B, le reste du modèle C.

Le constructeur estime que la probabilité de choix d'un de ces modèles par un client ayant l'intention d'acheter une voiture de cette catégorie, est égale à la fréquence de vente de ce modèle dans la catégorie "petites voitures" de cette marque.

Les résultats seront arrondis à trois décimales.

  1. Déterminer la probabilité qu'un client acheteur choisisse le modèle B.
    Quelle est la probabilité qu'il ne choisisse pas le modèle B ?
  2. Trois clients achètent un véhicule dans la catégorie "petites voitures", leur choix se fait de façon indépendante.
    On appelle X la variable aléatoire donnant le nombre de clients parmi les trois qui achètent le
    modèle B.
    a.Construire un arbre de probabilité et déterminer la loi de probabilité de X.
    b.Calculer l'espérance mathématique de X.

    3.Représenter la fonction de répartition de X.

    4.Quelle est la probabilité pour qu'au plus deux clients sur les trois achètent un véhicule du modèle B ?  



PROBLEME

Partie A

  1. Soit Cm la fonction définie sur [0, 6] par : Cm(q)=O,8+ 4 (1-2q) e-2q
    Cette fonction traduit le coût marginal quotidien d'une usine pour la fabrication d'un produit chimique sous forme liquide, q étant la quantité de produit exprimée en milliers de litres et Cm(q) exprimé en milliers de francs.

    Dresser le tableau de variations de Cm, la valeur de Cm(l) figurera dans le tableau.
    En déduire le signe de Cm(q) sur [0, 6].
  2. a. Montrer que la fonction g définie sur [0, 6] par g(q) = 4 q e-2q admet pour fonction dérivée la fonction définie par g'(q) = 4(l -2q) e-2q
    b. Le coût marginal est assimilé à la fonction dérivée du coût total.
    Sachant que les coûts fixes CT(O) s'élèvent à un millier de francs, déterminer la fonction CT traduisant le coût total en fonction de q.
  3. a. Déterminer les variations de CT sur [0, 6] en utilisant la question 1.
    b. Représenter la fonction coût total dans le plan muni d'un repère orthonormé (O; ; ) (Unité graphique 2 cm.)



Partie B

Le prix de vente de ce liquide est de 1,80 F par litre. La fabrication quotidienne est vendue en totalité.

  1. a. Représenter sur le graphique précédent la fonction traduisant la recette quotidienne.
    b. Montrer que le bénéfice noté B(q) s'exprime par B(q) = q - 1 - 4q e-2q
  2. Soit la fonction h définie sur [0, 6] par h(q) = 1,8 - Cm (q).
    a . Étudier les variations de h en utilisant celles de Cm
    b . Démontrer que l'équation h(q) = 0 a une unique solution a sur [0 ; 1] (on ne demande pas de calculer a )
    c . En déduire le signe de h(q) pour q Î [0; 6]
  3. a .En utilisant la question précédente, donner les variations de B.
    b. Donner une valeur de B(a ) avec deux décimales en prenant 0,28 comme valeur de a .
    Que représente cette valeur pour l'usine?

Saisie du texte : Christiane Charrassier ( Lycée Cordouan - Royan )


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Dernière mise à jour : 09/04/2001