Annales de mathématiques

National 2000 Série ES
Eléments de solution


exercice 1

exercice 2

probleme

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sommaire

Auteur : Christiane Charrassier ( Lycée Cordouan - Royan )

EXERCICE 1

  1. Nuage de points de la série (xi, yi)
  2. donc le point G a pour coordonnées (1989,4 ; 12,74)
  3. a. Soit r le coefficient de corrélation linéaire de la série(x,y). La calculatrice donne r = 0,985.
    On a 0,87<½ r ½ <1 donc un ajustement linéaire est justifié.
    b - Soit y = ax + b une équation de la droite d'ajustement affine de y en x par la méthode des moindres carrés .
    La calculatrice donne a = 0,486 et b = -953,915
    La droite d'ajustement affine a pour équation : y = 0,486 x -953,915
    c - estimation pour l'an 2000 en utilisant l'équation précédente:
    y = 0,486 ´ 2000 - 953,915
    y = 18,085
    estimation pour l'an 2004
    y = 0,486 ´ 2004 - 953,915
    y = 20,029
    En comparant ces deux résultats avec ceux du tableau, il est légitime de penser que les estimations faites par la revue ont été réalisées en utilisant l'équation précédente



EXERCICE 2
(obligatoire)

  1. La fréquence de vente du modèle B est :
    Soit B l'événement " le client choisit le modèle B"
    La probabilité de B est la fréquence de vente du modèle donc p(B) = 0,590
    L'événement " le client ne choisit pas le modèle B" est l'événement contraire de B.
  2. a) Trois clients achètent un véhicule dans la catégorie "petites voitures", leur choix se fait de façon indépendante. Pour chacun des acheteurs, on s'intéresse à la réalisation ou non de l'événement B.
    Il s'agit donc d'un schéma de Bernouilli. On peut traduire ce schéma par un arbre:


    X est la variable aléatoire donnant le nombre de clients parmi les trois qui achètent le modèle B.
    Les valeurs prises par la variable X sont 0, 1, 2 ou 3.
    *
    * L'événement (X=1) est réalisé trois fois dans l'arbre avec les branches donc
    *
    L'événement (X=2) est réalisé trois fois dans l'arbre avec les branches donc:

    * L'événement (X=3) est réalisé une fois dans l'arbre et
    p(X=3) = p(B)3 = 0,5903 = 0,205

    xi

    0

    1

    2

    3

    p(X = xi)

    0,069

    0,298

    0,428

    0,205


    Soit E(X) l'espérance mathématique de X
    E(X) = 0 ´ 0,069 + 1 ´ 0,298 + 2 ´ 0,428 + 3´ 0,205 = 1,769

  3. Soit F la fonction de répartition de X
    F est définie sur par F(x) =
    a) si x <0, F(x) = 0
    b) si , F(x) = p(X = 0)
    F(x) = 0,069
    c) si , F(x) = p(X =0)+ P(X=1)
    F(x) = 0,367
    d) si ,
    F(x) = p(X = 0) + P(X=1) +P(X=2)
    F(x) = 0,795
    e) si , F(x) = 1
  4. Soit E l'événement " au plus deux clients sur les trois achètent un véhicule du modèle B ?


La probabilité qu'au plus deux clients sur les trois achètent un véhicule du modèle B est 0,795.



PROBLEME

Partie A

Pour tout q Î [O; 6], Cm (q) = 0,8 + 4 (1 - 2q)e-2q

  1. Etude des variations et du signe de Cm sur [O; 6]

    La fonction u :q -2q est dérivable sur [O; 6] et la fonction exponentielle est dérivable sur . donc la composée eu est dérivable sur [O; 6]
    La fonction v : q - 4(l - 2q) est dérivable sur [O; 6]
    La fonction q 4 (1 - 2q)e-2q est le produit de deux fonctions dérivables donc elle est dérivable sur [O; 6].
    La fonction Cm est la somme de fonctions dérivables sur [O; 6]
    La fonction Cm est dérivable sur [O; 6]

    Pour tout réel q de [O; 6], on a donc :
    C'm (q) = 4[-2 e-2q +(1-2q)(-2 e-2q )]
    C'm (q) = -8 e-2q - 8(1-2q) e-2q
    C'm (q) = - 8e-2q (2- 2q)
    C'm (q) = 16e-2q (q - 1)

    Pour tout réel q, e-2q strictement positif donc le signe de C'm (q) est celui de q - 1
    - si q Î ]0; 1 [, q -1 <0 donc C'm (q) < 0 et la fonction Cm est strictement décroissante sur ]0; 1 [
    - si q = 1, C'm (q) = 0;
    - si q Î ]l ; 6[, q-1 >0 donc C'm (q) > 0 et la fonction Cm est strictement croissante sur ]l ; 6[

    Le tableau de variation de Cm est

    En x = 1, Cm admet un minimum absolu égal à
    0,8 - 4e-2 0,26.
    Pour tout réel q de [O; 6] on a Cm(q) Cm(1) >0,2

    Il en résulte que pour tout q de [0; 6], on a Cm(q) >0

  2. Détermination de la fonction coût total

    a .
    Soit g la fonction définie sur par g(q) = 4 q e-2q
    g est le produit de deux fonctions dérivables sur [0; 6] donc elle est dérivable sur [0; 6] et pour tout q de [O; 6]
    g'(q) = 4 e-2q +4q(-2 e-2q )
    g'(q) = 4(1-2q) e-2q
    b.La fonction CT admet pour fonction dérivée la fonction Cm. Donc CT est une primitive de Cm sur [O; 6].
    Cm étant dérivable sur [O; 6], elle admet des primitives sur [0; 6] .
    Cm(q) = 0,8 + 4 (1 - 2q)e-2q
    Cm(q) = 0,8 + g'(q)
    CT(q) = 0,8 q +g(q) + k ; k Î
    Nous savons que CT(0) = 1 donc 1 = g(0) + k
    or g(0) = 0 donc k =1 et:
    CT(q) = 0,8q + 4q e-2q +1
  3. a. Etude des variations de CT
    Nous savons que CT' = Cm et que pour tout q de [0; 6] , Cm(q) est strictement positif donc la fonction CT est strictement croissante sur [0; 6] .

    b.Représentation graphique de CT




Partie B

  1. L'usine fabrique q litres de ce liquide dont le prix de vente est de 1,80 F par litre. La fabrication quotidienne étant vendue en totalité, la recette quotidienne R(q) est 1,8 q (en milliers de Francs)
    Elle est représentée par un segment porté par la droite d'équation y = 1,8q

    b. B(q) = R(q) - CT(q) donc B(q) = 1,8q - 0,8q - 4q e-2q -1
    B(q) = q - 1 - 4q e-2q

  2. Étude du signe de h(q)

    a.
    Pour tout q de [O; 6], h(q) = 1,8 - Cm(q). On a donc, pour tout q de [0; 6] h'(q)= -Cm' (q).
    En utilisant les résultats du 1. on a :
    - si q Î ]0; 1 [, C'm (q) < 0 donc h'(q)>0 et la fonction h(q) est strictement croissante sur ]0; 1 [
    - si q = 1, C'm (q) = 0 donc h'(q) =0
    - si q Î ]l ; 6[, C'm (q) > 0 donc h'(q)<0 et la fonction h(q) est strictement décroissante sur ]l ; 6[

    avec h(1) 1,54 et h(6) 1

    b.
    Montrons que l'équation h(q) = 0 admet une solution unique dans [0; 1]
    Sur [0; 1], h est dérivable et strictement croissante. La restriction de h à[O; 1] est donc une bijection de [O; 1] sur [h(O); h(l)].
    h(O) = - 3 et h(l) 1,51. Donc 0 appartient à [h(O); h(l)]et l'équation h(q) = 0 admet une solution unique notée a dans [0; 1].

    c. Sur [0; a ] , h est croissante donc si 0 q <1, h(q) < h(a ) soit h(q) <0
    Sur [a ; 1] , h est croissante donc si a <q 1, h(q) > h(a ) soit h(q) > 0
    Sur [1; 6] , h est décroissante donc h(q) h(6) et h(6)>0 donc h(q) >0

  3. a. Etude des variations de B
    Nous savons que B(q) = 1,8q - CT(q) donc pour tout q de [0; 6] , B'(q) = 1,8 - Cm(q)
    Il en découle que B'(q) = h(q)

    D'après la question précédente,
    - si q Î ]0; a [, h(q) < 0 donc B'(q) <0 et la fonction B(q) est strictement décroissante sur ]0; a [
    - si q Î ]a ; 6[, h(q) > 0 donc B'(q)>0 et la fonction B(q) est strictement croissante sur ]a ; 6[

    b. a 0,28
    B(0,28) = 0,28 -1 -4 ´ 0,28´ e-0,56 donc B(0,28) -1,36 et B( a ) -1,36
    B( a ) est négatif donc il est le déficit maximum que peut craindre l'usine


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Dernière mise à jour : 09/04/2001