Annales de mathématiques

Remplacement 2002 Série S
Enoncé

exercice 1

exercice 2

probleme

solution

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sommaire



EXERCICE 1 ( 4 points ) 

 Un carré de côté 20 cm est partagé selon les dix zones suivantes :

\includegraphics[ bb=100bp 575bp 220bp 695bp clip, scale=1.2]{e3efig.eps}

On place un point aléatoirement dans le carré. La probabilité de placer le point dans une zone quelconque du carré est proportionnelle à l'aire de cette zone.

  1. Déterminer la probabilité $ p\left(D\right)$ pour que le point soit placé dans le disque $ D$.

    1. Déterminer la probabilité $ p\left(S_{1}\right)$ pour que le point soit placé dans le secteur $ S_{1}$.
  2. Pour cette question 2, on utilisera les valeurs approchées suivantes : $ p\left(D\right)=0,008$ et, pour tout $ k$ appartenant à $ \left\{ 1,2,3,4,5,6,7,8\right\} $, $ p\left(S_{k}\right)=0,0785$. A cette situation aléatoire est associé le jeu suivant :

    1. Calculer la probabilité $ p\left(R\right)$ pour que le point soit placé dans la zone $ R$. Calculer l'espérance de $ X$.
    2. On joue deux fois de suite. On a donc placé deux points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilité d'obtenir un gain total positif ou nul.
    3. Soit $ n$ un entier naturel supérieur ou égal à deux. On joue $ n$ fois de suite. On a donc placé $ n$ points de manière indépendante dans le carré. Calculer la probabilités $ p_{n}$ d'obtenir au moins un point placé dans le disque $ D$. Déterminer la plus petite valeur de $ n$ tel que $ p_{n}\geqslant 0,9$.

EXERCICE II (5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal $ \left(O;\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)$ d'unité graphique 4 cm. On note $ A$ et $ B$ les points d'affixes respectives 1 et $ i$. A tout point $ M$, distinct de $ A$ et d'affixe $ z$, est associé le point $ M^{\prime }$ d'affixe $ Z$ définie par :

$\displaystyle Z=\frac{\left(1-i\right)\left(z-i\right)}{z-1}$

  1. (a) Calculer l'affixe du point $ C^{\prime }$ associé au point $ C$ d'affixe $ -i$.
    (b) Placer les points $ A$, $ B$ et $ C$.
  2. Soit $ z=x+iy$, où $ x$ et $ y$ désignent deux nombres réels.

    1. Montrer l'égalité :

      $\displaystyle Z=\frac{\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}-1}{\left(x-1\right)^{2}+y^{2}}-\frac{x^{2}+y^{2}-1}{\left(x-1\right)^{2}+y^{2}}i$

    2. Déterminer l'ensemble $ E$ des points $ M\, $ d'affixe $ z$ telle que $ Z$ soit réel.
    3. Déterminer l'ensemble $ F$ des points $ M$ d'affixe $ z$ telle que $ Re\left(Z\right)$ soit négatif ou nul.
  3. (a) Ecrire le nombre complexe $ \left(1-i\right)$ sous forme trigonométrique.
    (b) Soit $ M$ un point d'affixe $ z$, distinct de $ A$ et de $ B$. Montrer que :

    $\displaystyle \frac{\left(1-i\right)\left(z-i\right)}{z-1}\in R^{*}$

    si et seulement si il existe un entier $ k$ tel que

    $\displaystyle \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\frac{\pi }{4}+k\pi $

    (c) En déduire l'ensemble des points $ M$ vérifiant

    $\displaystyle \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\frac{\pi }{4}+k\pi $

    (d) Déterminer l'ensemble des points $ M$ vérifiant

    $\displaystyle \left(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{MB}\right)=\frac{\pi }{4}+2k\pi $

PROBLEME

PARTIE A

  1. Montrer que pout tout $ x>0$, on a

    $\displaystyle e^{2x}-1>0$

  2. Soit $ g$ la fonction définie sur $ \left]0,+\infty \right[$ par :

    $\displaystyle g\left(x\right)=\frac{1}{e^{2x}-1}$

    1. Déterminer les limites de $ g$ en 0 et en $ +\infty $. Interpréter graphiquement les résultats.
    2. Calculer $ g^{\prime }\left(x\right)$. Etudier le sens de variation de $ g$ puis dresser sont tableau de variation.
PARTIE B

On considère la fonction $ f$ définie sur $ \left]0,+\infty \right[$ dont la courbe représentative $ C$ dans un repère orthogonal $ \left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ est donnée sur la feuille annexe avec sa tangente au point d'abscisse $ e$. On admet l'égalité suivante :

$\displaystyle f\left(x\right)=2x\left[a\left(\ln x\right)^{2}+b\ln x+c\right]$

où $ a$, $ b$ et $ c$ désignent trois réels.

  1. (a) Exprimer $ f^{\prime }\left(x\right)$ en fonction de $ a$, $ b$ et $ c$.
    (b) A l'aide des informations données sur le graphique, déterminer les valeurs de

    $\displaystyle f^{\prime }\left(\frac{1}{e}\right),\quad f^{\prime }\left(\sqrt{e}\right),\quad f^{\prime }\left(e\right)$

    (c) En déduire l'égalité

    $\displaystyle f(x)=2x\left[2\left(\ln x\right)^{2}-3\ln x+2\right]$

    pour tout $ x\in \left]0,+\infty \right[$.
  2. (a) Déterminer la limite de $ f$ en 0. On pourra poser $ t=-\ln x$ et vérifier pour tout $ x\in \left]0,+\infty \right[$ l'égalité :

    $\displaystyle f(x)=2e^{-t}\left[2t^{2}+3t+2\right]$

    (b) Déterminer la limite de $ f$ en $ +\infty $.
    (c) Montrer pour tout $ x\in \left]0,+\infty \right[$ l'égalité :

    $\displaystyle f^{\prime }(x)=2\left(\ln x+1\right)\left(2\ln x-1\right)$

    (d) Etudier le signe de $ f^{\prime }(x)$ et dresser le tableau de variation de $ f$.
PARTIE C

  1. Tracer, dans le repère $ \left(O;\overrightarrow{i},\overrightarrow{j}\right)$ de la feuille annexe, la courbe représentative $ \Gamma $ de la fonction $ g$ étudiée en partie A.
  2. (a) Montrer que pour tout $ x>0$, on a

    $\displaystyle g^{\prime }(x)=\frac{e^{2x}}{e^{2x}-1}-1$

    (b) Calculer, et exprimer en unités d'aire, l'aire de la surface délimitée par l'axe des abscisses, la courbe $ \Gamma $ et les droites d'équations $ x=\frac{1}{4}$ et $ x=2$.
  3. Soit $ \varphi $ la fonction définie sur $ \left[0,1;0,3\right]$ par $ \varphi (x)=f(x)-g(x)$.

    1. Montrer que, pour tout $ x$ appartenant à $ \left[0,1;0,3\right]$, on a $ \varphi ^{\prime }(x)>0$.
    2. Montrer que l'équation $ f(x)=g(x)$ possède une solution unique $ \alpha $ sur $ \left[0,1;0,3\right]$ et déterminer un encadrement de $ \alpha $ d'amplitude $ 10^{-2}$.
PARTIE D

  1. Montrer que pout tout $ x>0$, $ f(x)>0$.
  2. On définit la fonction $ h$ sur $ \left]0,+\infty \right[$ par l'expression suivante : $ h=g\circ f$.

    1. Déterminer les limites en 0 et en $ +\infty $ de $ h$.
    2. Déterminer le sens de variation de $ h$ sur $ \left]0,+\infty \right[$.
    3. Montrer que $ h(\alpha )=g\circ g(\alpha )$. Déterminer une valeur approchée de $ h(\alpha )$ à $ 10^{-4}$ près.

Académie de Poitiers
Courrier électronique : webmath@ac-poitiers.fr		 Dernière mise à jour : 01/03/03