Annales de mathématiques

Pondichéry 2003 Série S
Enoncé

exercice 1

exercice 2

probleme

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sommaire



EXERCICE 1 ( 4 points ) 

On considère la suite numérique (un) définie sur N par u0 = a et, pour tout entier n,
un+1 = un(2 -un)

a est un réel donné tel que 0 < a < 1.

  1. On suppose dans cette question que a = 18.
    1. Calculer u1 et u2.
    2. Dans un repère orthonormal (unité graphique 8 cm), tracer, sur l’intervalle [0,2], la droite (d) d’équation y = x et la courbe (G) représentative de la fonction :
      f : x '--> x(2 - x)

    3. Utiliser (d) et (G) pour construire sur l’axe des abscisses les points A1, A2, A3 d’abscisses respectives u1, u2, u3.

  2. On suppose dans cette question que a est un réel quelconque de l’intervalle ]0,1[.
    1. Montrer par récurrence que, pour tout entier n,
      0 < un < 1

    2. Montrer que la suite (un) est croissante.
    3. Que peut-on en déduire ?

  3. On suppose à nouveau dans cette question que a = 18. On considère la suite numérique (vn) définie sur N par :
    vn = 1- un

    1. Exprimer, pour tout entier n, vn+1 en fonction de vn.
    2. En déduire l’expression de (vn) en fonction de n.
    3. Déterminer la limite de la suite (vn), puis celle de la suite (un).

EXERCICE II (5 points)

Première partie

On considère dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation suivante :

      3    2
(E)  z + 2z - 16 = 0

  1. Montrer que 2 est solution de (E), puis que (E) peut s’écrire sous la forme :
    (z- 2)(az2 + bz + c) = 0

    a, b et c sont trois réels que l’on déterminera.

  2. En déduire les solutions de l’équation (E) sous forme algébrique, puis sous forme exponentielle.

Deuxième partie

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal (O; i,j).

  1. Placer les points A, B et D d’affixes respectives
    zA = - 2- 2i zB = 2 et  zC = - 2+ 2i

  2. Calculer l’affixe zC du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Placer C.
  3. Soit E l’image de C par la rotation de centre B et d’angle -p2 et F l’image de C par la rotation de centre D et d’angle p2.
    1. Calculer les affixes des points E et F, notées zE et zF.
    2. Placer les points E et F.

    1. Vérifier que :
      zF--zA-= i
zE- zA

    2. En déduire la nature du triangle AEF.

  4. Soit I le milieu de [EF]. Déterminer l’image du triangle EBA par la rotation de centre I et d’angle -p2.

PROBLEME (11 points)

 

On considère la fonction numérique f définie sur R par :
        2x-1   x2
f(x) = x e   - 2-

Le graphique ci-dessous est la courbe représentative de cette fonction telle que l’affiche une calculatrice dans un repère orthonormal.

Conjectures

À l’observation de cette courbe, quelles conjectures pensez-vous pouvoir faire concernant :

a) le sens de variations de f sur [-3,2]?

b) la position de la courbe par rapport à l’axe (x'x)?

Dans la suite de ce problème, on se propose de valider ou non ces conjectures et de les compléter.

Partie A : contrôle de la première conjecture

  1. Calculer f'(x) pour tout réel x, et l’exprimer à l’aide de l’expression g(x), où g est la fonction définie sur R par
    g(x) = (x+ 2)ex-1- 1

  2. Étude du signe de g(x) pour x réel.
    1. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers + oo , puis quand x tend vers - oo .
    2. Calculer g'(x) et étudier son signe suivant les valeurs de x.
    3. En déduire le sens de variations de la fonction g, puis dresser son tableau de variations.
    4. Montrer que l’équation g(x) = 0 possède une unique solution dans R. On note a cette solution. Montrer que
      0,20 < a < 0,21

    5. Déterminer le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

  3. Sens de variations de la fonction f sur R.
    1. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe de f'(x).
    2. En déduire le sens de variations de la fonction f.
    3. Que pensez-vous de votre première conjecture ?

Partie B : contrôle de la deuxième conjecture

On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal (     )
  O;i,j. On se propose de contrôler la position de la courbe par rapport à l’axe (x'x).

  1. Montrer que
          ---a3--
f(a) = 2(a + 2)

  2. On considère la fonction h définie sur l’intervalle [0,1] par :
            -x3
h(x) = 2(x+-2)

    1. Calculer h'(x) pour x elément de [0,1], puis déterminer le sens de variations de h sur [0,1].
    2. En déduire un encadrement de f(a).

    1. Déterminer les abscisses des points d’intersection de la courbe C avec l’axe (x'x).
    2. Préciser alors la position de la courbe C par rapport à l’axe des abscisses.
    3. Que pensez-vous de votre deuxième conjecture ?

Partie C : tracé de la courbe

Compte tenu des résultats précédents, on se propose de tracer la partie G de C correspondant à l’intervalle [-0,2;0,4], dans le repère orthonormal (      )
 O : i,j avec les unités suivantes :

  1. Recopier le tableau suivant et compléter celui-ci à l’aide de la calculatrice en indiquant les valeurs approchées sous la forme n × 10-4 (n entier relatif).














    x -0,2 -0,15-0,1 -0,05 0  0,050,1 0,150,2 0,250,3 0,350,4














    f(x)














  2. Tracer alors G dans le repère choisi.

Partie D : calcul d’aire

On désire maintenant calculer l’aire du domaine D délimité par la courbe G, l’axe des abscisses, l’axe des ordonnées et la droite d’équation x = 1 - ln2.

  1. À l’aide d’une double intégration par parties, déterminer une primitive sur R de la fonction :
    x '--> x2ex

  2. En déduire une primitive F sur R de la fonction f.
  3. Calculer alors, en unités d’aire, l’aire du domaine D puis en donner une valeur approchée en cm2.


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Dernière mise à jour : 02/06/03