Annales de mathématiques

National 1998 Série S
Enoncé

Dans tout l'exercice, A et B étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A ; p(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité :

   p_i = P(X = i)
   

   i	0	1	2
   pi	0,1	0,5	0,4

   1. Définir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
   2. Calculer l'espérance mathématique de X.
2. Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7 ; celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants :
   C₁ : " en cinq minutes, un seul client se présente " ;
   C₂ : " en cinq minutes, deux clients se présentent " ;
   E  : " en cinq minutes, un seul client achète de l'essence " ;
   1. Calculer P(C₁ E).
   2. Montrer que P(E/C₂) = 0, 42 et calculer P(C₂ E).
   3. En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence.
3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes ; déterminer la loi de probabilité de Y.

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct .


1. Résoudre dans l'équation (1) :

   

   On donnera le module et un argument de chaque solution.

2. Résoudre dans l'équation (2) :

   

   On donnera la solution sous forme algébrique.

3. Soit M, A et B les points d'affixes respectives : z, 1 et 2.
   On suppose que M est distinct des points A et B.
   1. Interpréter géométriquement le module et un argument de .
   2. Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).
4.  
   1. Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de l'équation dans  :

      

      où n désigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle .

   2. Résoudre alors dans l'équation (3) :

      

      On cherchera les solutions sous forme algébrique.

Les tracés de courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal  (unité : 2 cm).

On rappelle qu'une fonction f est majorée par une fonction g (ce qui signifie aussi que g est minorée par f) sur un intervalle I si et seulement si, pour tout x appartenant à I, f(x) g(x).

Soit f et g les fonctions définies sur [0; +[ par f(x) = ln(1 + x) et g(x) = ; on notera C la représentation graphique de f et celle de g.

On se propose de démontrer que f est minorée par g sur [0; +[.

Soit h la fonction définie sur [0; +[ par h(x) = f(x) - g(x).

1. Etudier le sens de variation de h sur [0; +[ ; calculer h(0). (L'étude de la limite de h en + n'est pas demandée.)
2. En déduire que pour tout réel x positif ou nul,

   (1)     ln(1 + x)

3. Construire dans le même repère les courbes C et et montrer qu'elles admettent en O une même tangente D que l'on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes).

k désignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonctions linéaires x ' kx, majorant la fonction : f : x ' ln(1 + x) sur [0; +[.

Soit f_k la fonction définie sur [0; +[ par f_k(x) = ln(1 + x) - kx.

1. Étudier le sens de variation de f₁ définie sur [0; +[ par :

   

2. Étudier la limite de f₁ en + et donner la valeur de f₁ en 0.
3. Montrer que pour tout réel x positif ou nul :

   (2)     ln(1 + x) x.

4. En déduire que si k 1, alors : pour tout x 0, f(x) kx
5. Le réel k vérifie les conditions : 0 < k < 1.
   Montrer que la dérivée de f_k s'annule pour x = et étudier le sens de variation de f_k. (L'étude de la limite de f_k en + n'est pas demandée.)
6. En déduire les valeurs de k strictement positives telles que pour tout x 0,

   

1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer :

   

   On remarquera éventuellement que :

   

   
   En déduire le calcul de

   

    puis de  

   

   
   Pour le calcul de K on pourra vérifier que

   

   
   Interpréter géométriquement les valeurs des intégrales J et K en utilisant les courbes C, et la droite D obtenues dans la partie A.

2. Soit u la fonction définie sur [0; 1] de la façon suivante :

   

   1. Démontrer que la fonction u est continue sur [0; 1].
   2. On pose :

      

      En utilisant les inégalités (1) et (2) obtenues dans les parties A et B, montrer que :

      

      En déduire une valeur approchée de L à 10^-1 près.