Annales de mathématiques

Guadeloupe 1998 Série S
Enoncé

Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs : violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se compose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino : c'est un double.

1. Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac.
2. On tire simultanément trois dominos du sac.
   Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos ?
3. Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des événements suivants :
   1. J₂ : " Le jaune figure deux fois "
   2. J₁ : " Le jaune figure une seule fois "
   3. J : " Le jaune figure au moins une fois "
4. On effectue n tirages successifs d'un domino, en notant à chaque tirage la (ou les) couleur(s) obtenue(s) avant de remettre dans le sac le domino tiré et de procéder au tirage suivant ; les tirages sont indépendants.
   Calculer, en fonction de n, la probabilité p_n, que J soit réalisé au moins une fois.
   Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle p_n 0, 99.

Partie A

On considère le polynôme P de la variable complexe z défini par :

1. 1. Calculer P et P .
   2. Montrer qu'il existe un polynôme Q du second degré, que l'on déterminera, tel que :

      

2. Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes l'équation P = 0.

Partie B

Le plan est rapporté au repère orthonormal direct (unité graphique 2 cm).

1. Placer dans ce repère les points A, B, C et D d'affixes respectives
   z_A = i, z_B = -i, z_C = - + 2i et z_D = - - 2i.
   Montrer que ces quatre points appartiennent au cercle de diamètre .
2. Montrer qu'il existe une rotation de centre O qui transforme C en D. Calculer une valeur entière approchée à un degré près d'une mesure de l'angle de cette rotation.
3. Calculer, sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique, le rapport :

   

   Interpréter géométriquement le module et l'argument de ce rapport.

Partie A : Etude de fonctions

On considère les fonctions f₁, f₂, f₃ définies sur par :

On appelle C₁, C₂, C₃ leurs courbes représentatives respectives dans un repère orthogonal du plan. Les courbes C₂ et C₃ sont données sur le graphique ci-dessous.

1. Etude de la fonction f₁.
   1. Calculer la dérivée f₁^' de f₁ et étudier son signe. En déduire les variations de f₁.
   2. Déterminer les limites de f₁ en +, en -.
   3. Dresser le tableau de variation de f₁.
2. Etude graphique.
   1. Identifier sur la figure donnée les courbes C₂ et C₃ et placer sur le dessin le repère .
   2. Etudier la position relative des courbes C₁ et C₃.
   3. Tracer C₁ dans le même repère que C₂ et C₃ sur la figure fournie.
3. Etude d'équations différentielles.
   1. Montrer que f₁ est solution de l'équation différentielle :

      

   2. Montrer que f₁ est aussi solution de l'équation différentielle :

      

   3. Déterminer toutes les solutions de l'équation différentielle . En déduire que f₂ et f₃ sont aussi des solutions de .
   4. Parmi les solutions de , quelles sont celles qui sont aussi solutions de ?

Partie B : Etude d'aires liées à C₁ et C₂.

Pour n entier strictement positif, on appelle M_n le point de C₃ d'abscisse n ln 2. On pose :

pour tout x réel.

1. Calculer, en unités d'aire, l'aire U_n du domaine plan limité par la courbe C₃, la courbe C₁ et les segments et pour n > 0. P _n et P _n+1 sont les projections orthogonales respectives de M_n et M_n+1 sur .
2. Calculer, en unités d'aire, l'aire V _n du trapèze P _nM_nM_n+1P _n+1 pour n > 0. Montrer que le rapport est constant.