Annales de mathématiques

Polynésie 1998 Série S
Enoncé

Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules noires, une urne B contient 3 boules rouges et deux boules noires.
On tire au hasard une boule de l'urne A :

• si elle est noire, on la place dans l'urne B,
• sinon, on l'écarte du jeu.

On tire au hasard ensuite une boule de l'urne B.
On considère les événéments suivants :

R₁ : " La boule tirée de A est rouge "

N₁ : " La boule tirée de A est noire "

R₂ : " La boule tirée de B est rouge "

N₂ : " La boule tirée de B est noire "

1.  
   1. Calculer les probabilités des événements R₁ et N₁.
   2. Calculer les probabilités des événements " R₂ sachant R₁ " et " R₂ sachant N₁ ". En déduire que la probabilité de R₂ est de .
   3. Calculer la probabilite de N₂.
2. On répète n fois l'épreuve précédente (tirage d'une boule de A, suivie du tirage d'une boule de B dans les mêmes conditions initiales indiquées ci-dessus), en supposant les différentes épreuves indépendantes.
   

   Quel nombre minimum d'essais doit-on effectuer pour que la probabilité d'obtenir au moins une fois une boule rouge de l'urne B soit supérieure à 0,99 ?

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal ( unité graphique 2 cm ). On note A le point d'affixe 1 et B le point d'affixe 3 + 2i.
On appelle f l'application qui, à tout point M distinct de A et d'affixe z, associe le point M' d'affixe z^' définie par

1. Calculer les affixes des points O' et B', images respectives des points O et B par f. Placer les points A, O', B et B' dans le plan.
2.  
   1. Calculer, pour tout complexe z différent de 1, le produit

      

   2. En déduire que, pour tout point M distinct de A, on a :

      

3. Démontrer que, si M appartient au cercle (C) de centre A passant par O, alors M' appartient à un cercle (C^'). En préciser le centre et le rayon. Construire (C) et (C^').
4.  
   1. Déterminer l'angle (, ).
   2. Démontrer que, si M est un point autre que A de la demi-droite (d) d'origine A, passant par B, alors M' appartient à une demi-droite que l'on précisera.
5. On appelle P le point d'intersection du cercle (C) et de la demi-droite (d).
   Placer son image P' sur la figure.

Partie A : Résolution d'une équation différentielle

1. Déterminer les fonctions définies sur solutions de l'équation différentielle (E₁) :
   

   

   (Remarque : Cette question est désormais hors programme, voir la fin du problème pour de plus amples informations).

2. On considère l'équation différentielle (E₂):

   

   1. Vérifier que la fonction p définie sur par p(x) = x+1 est solution de (E₂).
   2. Démontrer qu'une fonction g est solution de (E₂) si, et seulement si, la fonction g - p est solution de (E₁).
   3. Déduire de 1. et 2.(b) les solutions de (E₂)
   4. Déterminer la solution générale de (E₂) qui vérifie :
      

      

Partie B : Étude d'une fonction f et courbe représentative


On appelle f la fonction définie sur l'intervalle [0,+[ par :

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal  (unité graphique 2 cm)

1. .
   1. f^' et f^'' désignant respectivement les dérivées première et seconde de f, calculer, pour tout réel x, f^'(x) et f^''(x).
   2. Etudier le sens de variation de la dérivée f^'.
   3. Démontrer que, pour tout réel x, f^'(x) > 0.
   4. Calculer la limite de f en +.
   5. Dresser le tableau de variation de la fonction f.
2.  
   1. Démontrer que la droite (D) d'équation y = x + 1 est asymptote à (C) et préciser la position relative de (D) et (C).
   2. La courbe (C) admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D).
      Déterminer les coordonnées de A.
3. Démontrer que l'équation de f(x) = 2 admet sur [0,+[ une unique solution notée , puis vérifier que 0 < < 1.
4.  
   1. Construire la droite (D), le point A défini au 2.(b), la courbe (C) et la tangente en A à la courbe (C).
   2. Donner par lecture graphique une valeur approchée de .

Partie C : Recherche d'une approximation décimale de


1. Démontrer que, sur [0,+[, l'équation : f(x) = 2 équivaut à l'équation :

   

2. On appelle h la fonction définie sur l'intervalle [0 , 1] par :

   

   1. Calculer h^'(x) pour tout réel x de l'intervalle [0 , 1] et réaliser le tableau de variations de la fonction h.
   2. En déduire que, pour tout réel x de [0 , 1], h(x) appartient à [0 , 1].
   3. Calculer h^''(x) pour tout réel x de l'intervalle [0 , 1] ; étudier le sens de variations de h^'.
   4. En déduire que, pour tout réel x de [0 , 1],

      

3. On définit la suite (u_n)_n par : 

   

   pour tout entier naturel n.

   1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, u_n appartient à l'intervalle [0 , 1].
   2. Démontrer que, pour tout entier naturel n,

      

   3. En déduire que, pour tout entier naturel n,

      

      puis que la suite (u_n)_n converge vers .

   4. Déterminer un entier p tel que u_p soit une valeur approchée à 10^-6 près de et, à à l'aide de la calculatrice, proposer une approximation décimale de u_p à 10^-6 près. Que peut-on en déduire pour ?

Remarque : La question A.1. n'est plus au programme. Nous admettrons, pour traiter la suite de la partie A, que les solutions de l'équation (E₁) sont les fonctions x ' (Ax + B)e^-x (A et B étant des constantes réelles).