Annales de mathématiques

Centres Etrangers 1998 Série S
Enoncé

Une urne contient 5 boules blanches et 4 boules rouges indiscernables au toucher. On effectue n tirages successifs (n entier supérieur ou égal à 1) d'une boule en respectant la règle suivante : si la boule tirée est rouge, on la remet dans l'urne ; si elle est blanche, on ne la remet pas.
Les parties A et B sont indépendantes.
Partie A
Dans cette partie n = 3. On donnera les résultats sous forme de fractions irréductibles.
Si k est un entier compris entre 1 et 3, on note E_k l'événement
<<seule la k ième boule tirée est blanche>>.

1. Montrer que la probabilité de l'événement E₁ est

   

2. Calculer les probabilités des événements E₂ et E₃.
   En déduire la probabilité qu'on ait tiré une seule boule blanche à l'issue des 3 tirages.
3. Sachant que l'on a tiré exactement une boule blanche, quelle est la probabilité que cette boule blanche ait été tirée en dernier ?

Partie B
On effectue maintenant n tirages.

1. Déterminer, en fonction de n, la probabilité p_n de tirer au moins une boule blanche en n tirages.
2. Quelles valeurs faut-il donner à n pour que : p_n > 0, 99 ?

Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct (O, , ).
L'unité graphique est de 3 cm.
On considère les points B, C, D, E définissant le carré de sens direct BCDE d'affixes respectives :

1. Calculer |b|, |c|, |d|, |e|.
2. Soit le cercle de centre O passant par B.
   Déterminer une équation du cercle .
   On considère Q un point de distinct de B et de C.
   L'affixe de Q est notée q = x + iy ( avec x et y réels ).
3. Soient F et G les points du plan tels que QBF G soit un carré de sens direct, c'est à dire tels que : = .
   On pose

   

   où g est l'affixe du point G.
   Interpréter géométriquement le module et un argument de Z. En déduire Z.

4. Prouver que :

   

   En déduire |g| en fonction de x et de y.

5. En utilisant la question 2. exprimer |g| en fonction de y.
6. A l'aide de considérations géométriques, prouver que : |f| = |g|, f étant l'affixe du point F .
7. Pour quelles valeurs de x et de y les points E, D, G, et F sont-ils sur un cercle de centre O ?
   Préciser le rayon de ce cercle. En déduire alors la nature du triangle QBC.

Le but du problème est l'étude d'une fonction g_k où k est un réel fixé qui vérifie : 0 < k < e.
Dans la partie A on met en évidence certaines propriétés d'une fonction f qui seront utilisées dans la partie B.
Partie A
Soit f la fonction de la variable réelle x définie sur par :

1. Déterminer les limites de f en - et en +.
2. Calculer f^'(x). En déduire le tableau de variation de f. Calculer f(1).
3.  
   1. Établir que l'équation f(x) = 0 a deux solutions, une notée _k appartenant à l'intervalle ]-, 1[ et l'autre notée _k appartenant à l'intervalle ]1, +[.
   2. Montrer que :

      

      On démontrerait de même que _k vérifie l'égalité :

      

4. Préciser le signe de f(x) suivant les valeurs de x.

Partie B


1. Soit u la fonction de la variable réelle x définie sur par : u(x) = e^x - kx.
   1. Étudier le sens de variation de u.
   2. On rappelle que 0 < k < e. Justifier la propriété suivante : textrmpourtoutréelx, e^x - kx > 0
2. Soit g_k la fonction définie sur par :

   

   On note C_k la courbe représentative de la fonction g_k dans le plan rapporté à un repère orthogonal.

   1. Déterminer la limite de g_k en - et en +.
   2. Prouver que :

      

   3. En déduire le tableau de variation de g_k. Calculer g_k(1).
3. On nomme M_k et N_k les points de la courbe C_k d'abscisses respectives _k et _k.
   1. En utilisant la question 3.b)(Partie A), montrer que :

      

   2. Donner de même g_k(_k).
   3. Déduire de la question précédente que lorsque k varie les points M_k et N_k sont sur une courbe fixe H dont on donnera une équation.
4. Représentations graphiques pour des valeurs particulières de k
   1. Déterminer la position relative des courbes C₁ et C₂.
   2. Prouver que ₂ = 0.
   3. En prenant comme unités 2 cm sur l'axe des abscisses et 4 cm sur l'axe des ordonnées, construire les courbes C₁, C₂ et H sur un même graphique.
      On prendra ₁ = -1, 1 ; ₁ = 1, 8 ; ₂ = 1, 6.