Annales de mathématiques

Pondichéry 1998 Série S
Enoncé

1. On dispose d'une urne U₁ contenant trois boules rouges et sept boules noires.
   On extrait simultanément deux boules de cette urne ; on considère que tous les tirages sont équiprobables.
   1. Quelle est la probabilité p₁ que les deux boules tirées soient rouges ?
   2. Quelle est la probabilité p₂ que les deux boules tirées soient noires ?
   3. Quelle est la probabilité p₃ que les deux boules tirées soient de même couleur ?
   4. Quelle est la probabilité p₄ que les deux boules tirées soient de couleurs différentes ?
2. On dispose aussi d'une deuxième urne U₂ contenant quatre boules rouges et six boules noires.
   On tire maintenant deux boules de l'urne U₁ et une boule de l'urne U₂ ; on suppose que tous les tirages sont équiprobables.
   On considère les événements suivants :
   R : " Les boules tirées sont rouges ";
   D : " Les trois boules tirées ne sont pas toutes de la même couleur "
   B : "La boule tirée dans l'urne U₂ est rouge ".
   1. Calculer la probabilité de l'événement R.
   2. Quelle est la probabilité de tirer trois boules de même couleur ?
   3. Calculer la probabilité conditionnelle p_D(B) de l'événement B sachant que l'événement D est réalisé.

On considère le polynôme

où z est un nombre complexe.

1. Déterminer deux nombres réels a et b tels que :



2. Résoudre dans l'équation P(z) = 0.
3. Placer dans un repère orthonormal direct , les images M, N, P et Q des nombres complexes respectifs

   

4. 1. Déterminer le nombre complexe z vérifiant

      

      Placer son image K.

   2. En déduire que le triangle MPK est isocèle rectangle en K.
5.  
   1. Déteminer par le calcul l'affixe du point L, quatrième sommet du carré MKPL.
   2. Déterminer l'abscisse du point d'intersection R de la droite (KL) et de l'axe des abscisses.
   3. Montrer que M, N, P et Q sont sur un même cercle de centre R.
      

On considère la fonction f définie sur [0 ;   + [ par

On désigne par C sa courbe représentative dans le plan rapporté à un repère orthonormal ; unité graphique : 4 cm.
Partie A
* Étude d'une fonction auxiliaire
Soit la fonction g définie sur l'intervalle [0 ; +[ par

1. Étudier le sens de variation de g sur [0 ; +[ et déterminer la limite de g en +.
2.  
   1. Montrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution et une seule dans [0 ;   + [.
      On note cette solution.
   2. Prouver que

      

3. En déduire le signe de g(x) suivant les valeurs de x.

Partie B
* Étude de la fonction f et tracé de la courbe C

1.  
   1. Montrer que, pour tout x appartenant à [0 ; +[,

   

   2. En déduire le sens de variation de la fonction f sur [0 ; +[.
2.  
   1. Montrer que pour tout réel positif x,

      

   2. En déduire la limite de f en +. Interpréter graphiquement le résultat trouvé.
3.  
   1. Établir que

      

   2. En utilisant l'encadrement de établi dans la question A.2., donner un encadrement de f() d'amplitude 10^-2.
4. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe C au point d'abscisse 0.
5.  
   1. Établir que, pour tout x appartenant à l'intervalle [0 ; +[,

      

   2. Étudier le sens de variation de la fonction u sur l'intervalle [0 ; +[. En déduire le signe de u(x).
   3. Déduire des questions précédentes la position de la courbe C par rapport à la droite (T).
6. Tracer C et (T).

Partie C
* Calcul d'aire et étude d'une suite

1. Déterminer une primitive F de f sur [0 ; +[ ; on pourra utiliser l'expression de f(x) établie dans la question B.2.
2. On note D le domaine délimité par la courbe C, la tangente (T) et les droites d'équations x = 0 et x = 1.
   Calculer, en cm², l'aire A du domaine D.
   Donner une valeur décimale au mm² près de l'aire A.
3. Pour tout entier naturel n, on pose

   

   1. Calculer v₀, v₁ et v₂.
      On donnera des valeurs décimales approchées à 10^-2 près de v ₀, v₁ et v₂.
   2. Interpréter graphiquement v_n.
   3. Montrer que, pour tout n 2,

      

      
      En déduire la monotonie de la suite (v_n) à partir de n = 1.

   4. Déterminer la limite de la suite (v_n).