Annales de mathématiques

Asie 1998 Série S
Enoncé

Le plan complexe P est rapporté à un repère direct (O, , ), ayant comme unité graphique 3 cm. Les nombres complexes z₁, z₂, z₃, z₄, z₅ et z₆ que l’on va calculer dans cet exercice seront tous exprimés sous forme algébrique et sous forme exponentielle (eⁱ).

1. Résoudre dans l’équation :

   

   On pose : z₁ = et z₂ = .
   Exprimer z₁ et z₂ sous forme exponentielle et placer les points M₁ et M₂ d’affixes respectives z₁ et z₂ dans le plan P.

2. Soit r la rotation de centre O et d’angle .
   Calculer l’affixe z₃ du point M₃ = r (M₂).
   Placer M₃ sur la figure précédente.
3. Soit t la translation dont le vecteur a pour affixe -.
   Calculer l’affixe z₄ du point M₄ = t (M₂).
   Placer M₄ sur la figure précédente.
4. Soient z₅ = (1 + i) et z₆ = .
   Exprimer z₅ et z₆ sous forme algébrique et sous forme exponentielle.
   Placer les points M₅ et M₆ d’affixes respectives z₅ et z₆ sur la figure.
5.  
   1. Calculer z_k⁶ pour k {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
   2. Ecrire z⁶+1 sous forme d’un produit de trois polynômes du second degré à coefficients réels. Justifier cette écriture.

Les questions 1 et 2 sont indépendantes. ^* est l’ensemble des entiers strictement positifs.
Pour tout entier n de ^*, on considère l’intégrale :

1. 1. Démontrer que pour tout x dans l’intervalle ]1, e[ et pour tout entier naturel n, on a :

      

   2. En déduire que la suite (I_n) est décroissante.
2.  
   1. Calculer I₁ à l’aide d’une intégration par parties.
   2. Démontrer à l’aide d’une intégration par parties que, pour tout n ^* :

      

   3. En déduire I₂, I₃ et I₄. Donner les valeurs exactes, exprimées en fonction de e et les valeurs approchées à 10^-3 près par défaut.
3.  
   1. Démontrer que, pour tout n ^* : I _n 0
   2. Démontrer que, pour tout n ^* : (n + 1)I _n e
   3. En déduire la limite de I_n.
   4. Déterminer la valeur de nI_n + (I_n + I_n+1) et en déduire la limite de nI_n.

Partie A
Soit la fonction g, définie sur , qui, à tout x, associe :

1. 1. Montrer que la dérivée de la fonction g sur est :

      

   2. Déterminer les limites de g en (+) et en (-).
   3. Étudier le signe de g ^'(x) sur , et dresser le tableau de variation de g sur .
2. Montrer que l’équation g(x) = 0 admet une solution et une seule sur l’intervalle [0 ; +[.
   Montrer que est dans l’intervalle I = .

Partie B
Soit la fonction f définie sur [0 ; +[ par :

1. Montrer que les équations f(x) = x et g(x) = 0 sont équivalentes sur [0 ; +[, et que, par suite, l’équation f(x) = x admet pour solution unique sur I.
2.  
   1. Calculer la dérivée de f et en déduire le sens de variation de f sur [0 ; +[.
   2. Déterminer la limite de f en +.
   3. Dresser le tableau de variation de f.
   4. Construire la courbe représentative C de f sur [0 ; +[ dans un repère orthonormal (unité 2 cm). On indiquera en particulier les tangentes à C aux points d’abscisses 0 et 1.

Partie C

1. Montrer que, pour tout x appartenant à I, f(x) appartient à I.
2. Soit la suite (u_n)_n^* définie par

   

   1. Montrer que, pour tout n ^*,  u _n I.
   2. Montrer que, pour tout x I,  

      

   3. En appliquant le théorème de l’inégalité des accroissements finis, démontrer que :

      

   4. En déduire, par un raisonnement par récurrence, que :

      

   5. En déduire que (u_n) converge vers
   6. A priori, combien suffit-il de calculer de termes de la suite pour obtenir une valeur approchée de à 10^-7 près ?
3. En utilisant la décroissance de f, montrer que est compris entre deux termes consécutifs quelconques de la suite. En déduire un encadrement de d’amplitude 10^-7.