Annales de mathématiques

Polynésie 1999 Série S
Enoncé

exercice 1

exercice 2

probleme

indications

solution

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sommaire

EXERCICE 1 ( 5 points)

Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches.
On en prélève n successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère les deux événements suivants :
A: <<On obtient des boules des deux couleurs >>;
B : <<On obtient au plus une blanche >>.

  1.  
    1. Calculer la probabilité de l'évènement :
      <<Toutes les boules tirées sont de la même couleur >>.

    2. Calculer la probabilité de l'évènement :
      <<On obtient exactement une boule blanche >>.

    3. En déduire que les probabilités p(A  /~\ B), p(A), p(B) sont :

                 n                1            n + 1p(A  /~\ B) = 2n-    p(A) = 1- 2n--1   p(B) = -2n--

  1. Montrer que : p(A  /~\ B) = p(A) × p(B) si et seulement si :

     n- 12    = n+ 1

  2. Soit (un) la suite définie pour tout entier naturel supérieur ou égal à deux par :

    un = 2n-1- (n + 1)

    Calculer u2, u3, u4.
    Démontrer que la suite (un) est strictement croissante.

  3. En déduire la valeur de l'entier n tel que les événements A et B soient indépendants.

EXERCICE 2 ( 4 points)

Le plan complexe (P) est rapporté à un repère orthonormal direct (O, --->u, --->v) d'unité graphique 2 cm.

  1. Résoudre dans C l'équation :

    z3- 8 = 0

  2. On considère dans le plan (P) les points A, B et C d'affixes respectives :

    z = - 1+ i V~ 3   z  = 2    z = - 1- i V~ 3A                B        C

    1. Ecrire zA et zC sous la forme trigonométrique.

    2. Placer les points A, B et C.

    3. Déterminer la nature du triangle ABC.

  3. On considère l'application f du plan dans lui-même qui à tout point M d'affixe z associe le point M' d'affixe

    z'= e2i3pz

    1. Caractériser géométriquement l'application f.

    2. Déterminer les images des points A et C par f.
      En déduire l'image de la droite (AC) par f.

PROBLEME ( 11 points )

Partie A
Soit f la fonction définie sur R par :

f(x) = x - e2x-2

On note (C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (   ---> --- > ) O, i ,j.
On prendra 5 cm comme unité.

  1.  
    1. Déterminer la limite de f en - oo .

    2. Vérifier que pour tout réel x non nul :

              [          ( 2x)]f (x) = x 1 - 2e- 2×  e--                     2x

      Déterminer la limite de f en + oo .

  1. Déterminer f'. Etudier le signe de f'(x) et calculer la valeur exacte du maximum de f.

  2. Démontrer que la droite (D) d'équation : y = x est asymptote à la courbe (C).
    Etudier la position relative de (C) et de (D).

  3. On note A le point de la courbe (C) d'abscisse 1.
    Déterminer une équation de la tangente (T) en A à la courbe (C).

    1. On note I l'intervalle [0; 0, 5].
      Démontrer que l'équation : f(x) = 0 admet dans l'intervalle I une unique solution qu'on notera a.

    2. Déterminer une valeur approchée à 10-1 près de a.

  4. Construire la courbe (C), l'asymptote (D) et la tangente (T).

Partie B
Détermination d'une valeur approchée de a
On définit dans R la suite (un) par :

uo = 0 et un+1 = e2un-2

  1. Soit g la fonction définie sur R par :

           2x-2g(x) = e


    Démontrer que l'équation : f(x) = 0 est équivalente à : g(x) = x.
    En déduire g(a).

  2. Démontrer que, pour tout réel x de l'intervalle I on a :

      '     2|g(x)|\< e

  3. Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle I, g(x) appartient à I.

  4. Utiliser l'inégalité des accroissements finis pour démontrer que, pour tout entier naturel n :

    |u   - a|\<  2| u  - a|  n+1       e n

  5. Démontrer, par récurrence que :

             (  )          2  n|un - a|\<  e

  6. En déduire que la suite (un) converge et donner sa limite.

  7. Déterminer un entier naturel p tel que :

    |up- a|< 10-5

  8. En déduire une valeur approchée de a à 10-5 près : on expliquera l'algorithme utilisé sur la calculatrice.

 


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Dernière mise à jour : 17/05/2000