La table de Dudeney

 


Henry Ernest Dudeney(1857-1930), grand créateur britannique de problème originaux a expliqué au début du siècle comment découper un triangle équilatéral en 4 polygones de façon à pouvoir obtenir un carré après déplacement des pièces obtenues.

Les étapes et le film de la transformation
Comment découper les pièces
Le fichier géoplan

Les étapes et le film de la transformation


On voit ainsi la transformation du triangle équilatéral en carré. Comme celà peut s'observer dans le film ci dessus, une pièce(la bleue) reste immobile, 2 autres(verte et ocre) font un demi tour et la dernière( la noire) subit un déplacement qui est composé de deux demis-tour soit une translation. On peut donc réellement fabriquer un tel puzzle articulé en utilisant des pièces en bois et des charnières. On peut aussi fabriquer une vraie table, adaptable pour 3 ou 4 personnes, mais il y aura en plus le problème des pieds(non résolu ici).

Comment découper les pièces


L'examen du film ci dessus, permet d'affirmer que les points I et J sont les milieux des cotés [CB] et [AC].

Toujours dans le film ci dessus, observons le triangle rectangle noir, dans la position qu'il occupe dans le triangle équilatéral de la première figure, puis dans la position qu'il occupe dans le carré sur la dernière figure. La comparaison de ces 2 positions, montre que l'hypothénuse du triangle mesure la moitié du coté du triangle équilatéral. MN=(1/2)AB. La connaissance de la position de M entraine donc celle de N.

Pour n'importe quelle position de M, la figure obtenue après rotation des pièces comme dans le film ci dessus, est un rectangle. En effet les 4 angles droits qui se trouvent au centre du triangle équilatéral, deviennent, après rotation les 4 angles du quadrilatère.

L'observation attentive des positions initiales et finales des 4 pièces du puzzle montre que les cotés du rectangle obtenu mesurent L1= I'J+JN'=MN'+I'M et L2=2II'=2NN' . La première égalité conduit à N'J=I'M d'ou L1=I'N'+N'J+N'J=I'N'+I'M+N'J=MJ

Ainsi, un des côtés du rectangle mesure JM. En supposant que le côté du triangle équilatéral est 1, son aire est donc rac(3)/4. Si on veut obtenir un carré, il faut donc que MJ²=rac(3)/4, ce qui permet d'obtenir M par intersection d'un cercle de centre J, de rayon MJ=0,658 et du côté [AB]. Cela correspond à AM=0,255 et BN=0,245.

 

Le fichier géoplan

Les figures ci dessus ont été obtenues avec le logiciel géoplan. Dans ce fichier géoplan (dudeney1)on peut faire varier le paramètre x=AM, ce qui permet d'obtenir des rectangles plus ou moins proches d'un carré en dépliant le triangle. Pour ouvrir le triangle petit à petit, on fait varier le paramètre t. Pour faire varier un de ces deux paramètres, il faut aller dans le menu "piloter" et sélectionner le paramètre choisi. Ensuite l'une des flèches du clavier fait varier le paramètre sélectionné.

téléchargement du fichier

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