Construction du polygône régulier
à 17 côtés

proposée par J.-M. Sarlat, lycée Louis Armand à Poitiers

Gauss

C'est C. F. Gauss (1777-1855) qui a démontré que les polygones réguliers à n côtés étaient constructibles à la règle et au compas si et seulement si n pouvait se décomposer en un produit d'une puissance de 2 et de nombres de Fermat. Ces valeurs de n sont effet les seules pour lesquelles la résolution de l'équation

peut se réduire à une succession de résolution d'équations du second degré.

Fermat

Les nombres de Fermat sont les entiers de la forme :

Ainsi, on peut construire les polygones réguliers dont le nombre de côtés est 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 32, 34, 40, 48, 51, ..., 257, ..., 65537,  etc.

Et les autres...

Jusqu'à 16 côtés, la construction effective est «relativement simple» ; Gauss à indiqué celle de l'heptadécagone (17 côtés), Richelot celle du polygone à 257 côtés et Hermès traite le cas de 65537 ...

Détails de la construction de l'heptadécagone

Références bibliographiques

• Hauchecorne, B., Surateau, D., Des mathématiciens de A à Z, Ellipses ;
• Le Lionnais, F., Les nombres remarquables, Hermann ;
• Moreau, J., L'Heptadécagone... et au delà, Revue Quadrature n°12 (Mai-Juin 92) ;
• Warusfel, A., Les nombres et leurs mystères, Seuil, Collection «Points Sciences» S 21.

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