Cette séquence pédagogique présente quelques tests qui permettent de mesurer l'efficacité d'un générateur de nombres aléatoires.Elle permet en outre aux élèves de seconde de découvrir la notion de nombre aléatoire.
Sommaire
Au choix, l'un des deux tableurs :
Lorsque l'on utilise un générateur de nombres aléatoires, il existe différents tests qui permettent d'en mesurer la qualité. Ces tests sont basés sur le calcul de différentes fréquences, que l'on compare à des fréquences théoriques qui sont fournies.
| Fréquence de : | 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
| Fréquence calculée : | ||||||||||
| Fréquence théorique : | 0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
On compare les valeurs calculées aux valeurs théoriques. L'écart entre
ces deux valeurs doit être " petit ", et d'autant plus petit que la liste de
nombres aléatoires est grande.
Que pensez-vous de votre suite de nombres aléatoires ?
Insuffisance du test des fréquences.
Il suffit de considérer la suite de nombres aléatoires suivante :
| 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 |
Cette suite passe-t-elle avec succès le test des fréquences ? Est-elle
vraiment aléatoire ?
Il nous faut donc utiliser un test plus performant pour mesurer la qualité d'un
générateur de nombres aléatoires.
Le test du poker
Commencer par grouper vos 400 nombres aléatoires en 100 listes de quatre nombres aléatoires. Sur chaque liste de quatre nombres aléatoires, on compte les fréquences des cas où :
les chiffres sont tous différents (par exemple 1359)
la liste comporte une paire (par exemple 1135)
la liste comporte deux paires (par exemple 3377)
la liste comporte 3 chiffres identiques (par exemple 7477)
la liste comporte quatre chiffres identiques (par exemple 2222)
On complète ensuite le tableau suivant :
| Cas où | Fréquence calculée |
Fréquence théorique |
| les chiffres sont tous différents | 0,504 |
|
| la liste comporte une paire | 0,432 |
|
| la liste comporte deux paires | 0,027 |
|
| la liste comporte trois chiffres identiques | 0,036 |
|
| la liste comporte quatre chiffres identiques. | 0,001 |
Quelle conclusion pouvez-vous tirer quant à votre suite de nombres aléatoires ?
Exercices
Utiliser le test du poker pour vérifier si le générateur de nombres aléatoires fourni par votre calculatrice (la fameuse touche random) est satisfaisant. On génèrera un nombre aléatoire quelconque, et on prendra les quatre premières décimales du nombre généré comme liste de quatre chiffres.
Utiliser le "147 générateur" pour générer une série de 400 nombres aléatoires, et tester ce générateur par le test du poker :
Choisir un nombre quelconque x entre 0 et 1 ayant au moins 5 décimales (par exemple 0,12356).
Multiplier ce nombre par 147. (147*0,12356 =18,16332)
Prendre la partie décimale y de ce nombre. (0,163352)
Prendre comme liste de quatre nombres aléatoires les quatre premières décimales du nombre obtenu.(1633)
Recommencer l'opération en remplaçant x par la valeur de y.
Charger le classeur Star Office ou Excel nommé hasard, et tester si le générateur de nombres aléatoires du tableur passe le test du poker. La formule à entrer pour obtenir un nombre entier entre 0 et 9 est =ENT(ALEA()*10).
Charger le classeur Star Office ou Excel nommé gener, et l'utiliser pour trouver un nombre k entier tel que le k générateur, défini de même manière qu'à l'exercice 2, passe le test du poker.
On peut généraliser le test du poker en groupant les nombres aléatoires par blocs de 5 chiffres. Dans ce cas, il faut comparer les fréquences calculées aux fréquences théoriques suivantes :
| Cas où : | Fréquence théorique |
| Tous les chiffres sont différents (exemple 12598) | 0,3024 |
| Le bloc possède une paire (exemple 25962) | 0,5040 |
| Le bloc possède deux paires (exemple 61621) | 0,1080 |
| Le bloc possède trois chiffres identiques (exemple 12555) | 0,0720 |
| Le bloc possède trois chiffres identiques et une paire (exemple 82288) | 0,0090 |
| Le bloc possède quatre chiffres identiques (exemple 55551) | 0,0045 |
| Le bloc possède cinq chiffres identiques (exemple 22222) | 0,0001 |
Les valeurs de k permettant d'obtenir un "k générateur" sont 83, 117, 123, 133, 163, 173, 187, 197, ...
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(Microsoft), comprimée au format zip.
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Dernière mise à jour : 13/06/01 |